永磁同步电机 FOC 控制：从 dq 变换到 SVPWM 的完整推导（内嵌式 IPMSM 篇）

2026-08-30FOC · PMSM · IPMSM · MTPA · SVPWM · 三环整定

为什么要写这篇

我是做永磁同步电机（PMSM）台架标定出身的，4 年里调电流环、标 MTPA、验证弱磁，对 FOC 有很强的”手感”。但说实话，以前更多是”会调”而不是”能推”。转向机器人运动控制后，我意识到面试官要的不是”你调过几个环”，而是”你能不能把每个环节从方程推出来”——能推一遍和能调一遍，是完全不同的层次。

这篇笔记是我的完整推导主线，面向控制方向的面试官：三相 → 两相 → 旋转坐标系 → IPMSM 磁链/电压/转矩方程 → MTPA → SVPWM → 三环整定。配套作品 1：Simulink FOC 双闭环仿真（内嵌式 IPMSM 模型），本文的每个公式都会在仿真里落地。

0. 符号约定（约定速查）

符号	含义	符号	含义
$v_d, v_q$	dq 轴电压（V）	$\psi_f$	永磁体磁链（Wb）
$i_d, i_q$	dq 轴电流（A）	$\omega_e$	电角速度（rad/s）， $\omega_e = p_n \omega_m$
$R_s$	定子电阻（Ω）	$p_n$	极对数
$L_d, L_q$	dq 轴电感（H），内嵌式 $L_d < L_q$	$T_e$	电磁转矩（N·m）
$\theta_e$	转子电角度（rad）	$V_{dc}$	直流母线电压（V）

1. 第一步：三相 → 两相静止（Clarke 变换）

1.1 从物理直觉出发

三相绕组在空间互差 $120^\circ$ ，三相电流 $i_a, i_b, i_c$ 各自在空间产生磁动势分量，合成一个空间旋转磁场。我们关心的是合成效果，而不是三个分量的细节——所以先投影到两个正交轴 $\alpha\beta$ 上（ $\alpha$ 轴与 $a$ 相绕组轴线重合）。

投影关系（等幅值约定，系数 $\frac{2}{3}$ 保证变换前后电流幅值不变；等功率约定则用 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，幅值会变，工程上 FOC 常用等幅值）：

$\begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{bmatrix}$

利用星形连接 $i_a + i_b + i_c = 0$ ，可以消去 $i_c$ ：

$i_{\alpha} = i_a, \qquad i_{\beta} = \frac{1}{\sqrt{3}}(i_a + 2i_b)$

这是工程实现里最常见的化简形式——只用两个电流传感器就够了。

1.2 为什么要先 Clarke 再 Park？

不能直接从三相变到 dq。因为 $dq$ 坐标系是旋转的，必须先固定一个静止坐标系做投影（Clarke），再让坐标系跟着转子转起来（Park）。两步变换合起来才是”跟着转子磁场看电流”。

2. 第二步：两相静止 → 两相旋转（Park 变换）

Park 变换把 $\alpha\beta$ 里的交流量变成 $dq$ 里的直流量：

$\begin{bmatrix} i_d \\ i_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta_e & \sin\theta_e \\ -\sin\theta_e & \cos\theta_e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}$

其中 $\theta_e$ 是转子电角度（ $d$ 轴与 $\alpha$ 轴夹角），由编码器/旋变或观测器实时获得。这一步是整个 FOC 的”定向”所在：坐标系对准了转子磁场， $i_d$ 才是真正的”励磁分量”、 $i_q$ 才是真正的”转矩分量”。

坐标变换的关系可以画成下面这张图（后续我会在仿真笔记里补动画版）：

3. IPMSM 的 dq 模型：从磁链方程推到电压方程

3.1 磁链方程

在 $dq$ 坐标系下，定子磁链由两部分组成：电枢电流产生的磁链 + 永磁体贡献的磁链：

$\psi_d = L_d i_d + \psi_f, \qquad \psi_q = L_q i_q$

注意：永磁体磁链只出现在 $d$ 轴（ $d$ 轴定义就是永磁体磁场方向）。

3.2 电压方程

由法拉第定律 $\vec{v} = R_s \vec{i} + \dfrac{d\vec{\psi}}{dt}$ ，在旋转坐标系里展开时，磁链的时间导数要加上坐标系旋转引起的交叉项（这是 $dq$ 变换后出现耦合项的来源）：

$v_d = R_s i_d + L_d \frac{di_d}{dt} - \omega_e L_q i_q$

$v_q = R_s i_q + L_q \frac{di_q}{dt} + \omega_e (L_d i_d + \psi_f)$

三项物理意义：

$R_s i_d$ ：电阻压降；
$L_d \dfrac{di_d}{dt}$ ：电感（变压器电动势）；
$-\omega_e L_q i_q$ ：交叉耦合项——q 轴电流在旋转坐标系里会在 d 轴感生电动势；
$\omega_e \psi_f$ ：反电动势（运动电动势），速度越高越大，高速时占主导。

这两个耦合项/反电动势项，就是我在前馈开发里要补偿的对象——见《前馈控制为什么能提升响应速度》。补偿方式： $v_d^{ff} = -\omega_e L_q i_q$ ， $v_q^{ff} = \omega_e (L_d i_d + \psi_f)$ 。

3.3 转矩方程：磁阻转矩从哪来

用磁共能法推导电磁转矩。对 IPMSM，转矩有两项：

$T_e = \frac{3}{2} p_n \left[ \psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \right]$

第一项 $\frac{3}{2}p_n \psi_f i_q$ ：永磁转矩，与 $i_q$ 成正比，表贴式电机（ $L_d \approx L_q$ ）只有这一项，所以 $i_d = 0$ 控制最优；
第二项 $\frac{3}{2}p_n (L_d - L_q) i_d i_q$ ：磁阻转矩，来自 $L_d \neq L_q$ （内嵌式电机 $L_d < L_q$ ，凸极效应）。因为 $L_d - L_q < 0$ ，要得到正的磁阻转矩， $i_d$ 必须为负。

这就是 IPMSM 需要用 MTPA（最大转矩电流比） 的根本原因：通过注入负 $i_d$ 换取磁阻转矩，让同样的电流幅值产生更大的转矩。

4. MTPA：怎么求最优的 $i_d$

4.1 数学表述

在电流幅值约束 $i_s^2 = i_d^2 + i_q^2$ 下，最大化转矩 $T_e(i_d, i_q)$ 。用拉格朗日乘子法：

$\mathcal{L} = T_e + \lambda (i_d^2 + i_q^2 - i_s^2)$

对 $i_d, i_q$ 求偏导并令其为零，得到 MTPA 轨迹：

$i_d = \frac{\psi_f - \sqrt{\psi_f^2 + 4(L_d - L_q)^2 i_q^2}}{2(L_d - L_q)}$

4.2 工程实现：查表 vs 公式

理论上可以直接用上式在线计算 $i_d^*(T_e^*)$ ，但实际工程里更常用查表：

台架扫点：在不同 $T_e^*$ （或 $i_q^*$ ）下实测最优 $i_d$ ，得到 MTPA 表；
控制时： $i_d^* = \operatorname{interp}(\text{MTPA表}, T_e^*)$ ，查表插值。

我在前馈开发中主导过一次改进：把 MTPA 前馈从公式拟合改为查表插值，精度明显提升（量化数据脱敏，面试可详聊）——公式拟合在模型失配（磁链饱和、温度漂移）时误差累积，而查表直接来自台架实测，天然包含了饱和与非线性。这也是标定工程师思维在算法里的体现。

4.3 弱磁控制：高速区的另一个”必须懂”

MTPA 解决”低速怎么给电流”，弱磁解决”高速电压不够用”——两者是一对，我在台架上都标定过（也是我自动化标定平台的核心场景之一，见《从 INCA flow 到 Python》）。

电压约束：SVPWM 线性区最大相电压 $V_{max} = V_{dc}/\sqrt{3}$ ，dq 电压必须满足：

$v_d^2 + v_q^2 \le V_{max}^2$

把稳态电压方程代入，得到电压极限椭圆（外圆是电流极限圆）：

$(L_d i_d + \psi_f)^2 + (L_q i_q)^2 \le \left(\frac{V_{max}}{\omega_e}\right)^2, \qquad i_d^2 + i_q^2 \le I_{max}^2$

物理过程：转速升高 → 反电动势 $\omega_e \psi_f$ 增大 → 电压裕度减小。当 $v_q$ 顶到电压上限时，需要注入负向 $i_d$ ：它一方面削弱气隙磁链（ $\psi_d = L_d i_d + \psi_f$ 变小，等效”减弱磁场”），另一方面产生负的交叉耦合项 $-\omega_e L_q i_q$ 帮助 d 轴，从而把电压”腾出来”给 $i_q$ ——代价是转矩/电流比下降，进入恒功率区。

工程要点：

弱磁工作点落在电压极限椭圆与电流极限圆的交点上，高速时 $i_d$ 越来越负、 $i_q$ 越来越小；
实现方式：查弱磁表（台架扫点生成，我的自动化平台自动成表）或电压环（弱磁调节器，检测电压裕度输出 $i_d$ 增量）；
安全红线：负向 $i_d$ 过大有永磁体退磁风险，标定与策略都要设下限保护；
弱磁区动态差、对参数敏感，是我在台架上问题闭环最多的区域之一。

5. SVPWM：把电压指令变成开关序列

5.1 八个基本矢量

两电平三相逆变器有 8 个开关状态：6 个有效矢量（ $V_1 \sim V_6$ ，空间互差 $60°$ ）和 2 个零矢量（ $V_0, V_7$ ，三相全上/全下）：

5.2 伏秒平衡合成（第一扇区）

一个开关周期 $T_s$ 内，让 $V_1$ 作用 $T_1$ 、 $V_2$ 作用 $T_2$ 、零矢量作用 $T_0 = T_s - T_1 - T_2$ ，使平均电压等于参考矢量：

$\vec{V}_{ref} = \frac{T_1}{T_s} \vec{V}_1 + \frac{T_2}{T_s} \vec{V}_2$

由几何关系解得作用时间：

$T_1 = \sqrt{3}\,\frac{|V_{ref}|}{V_{dc}} T_s \sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right), \qquad T_2 = \sqrt{3}\,\frac{|V_{ref}|}{V_{dc}} T_s \sin\theta$

5.3 为什么 SVPWM 优于 SPWM

SPWM 线性区最大相电压幅值 $V_{dc}/2$ ；
SVPWM 线性区最大相电压幅值 $V_{dc}/\sqrt{3}$ ；
电压利用率比 $\dfrac{V_{dc}/\sqrt{3}}{V_{dc}/2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ 。

多出的 15.5% 意味着相同母线电压下输出能力更强（或相同输出下母线电压要求更低）——这是量产项目里很实在的成本项。

6. 三环控制结构：为什么先内环后外环

6.1 整定顺序的工程逻辑

先电流环：电流环带宽最高，受 PWM 频率约束（经验取开关频率的 $1/10 \sim 1/20$ ，过高会引入采样/延时不稳定）。只有电流环收敛，外环看到的才是”干净的转矩源”；
再速度环：把电流环等效为惯性环节后，速度环面对的是近似一阶对象，整定手感好；
最后位置环：位置环带宽最低，负责”轨迹跟踪”而不是”快速响应”，通常配合位置前馈使用（见《前馈》一文）。

6.2 电流环整定的参数化方法

以 q 轴为例，忽略耦合项（由前馈补偿），电流环对象近似一阶：

$G_i(s) = \frac{1}{L_q s + R_s}$

采用 PI + 零极点对消：令 $K_p = L_q \omega_{cc}$ 、 $K_i = R_s \omega_{cc}$ （ $\omega_{cc}$ 为目标电流环带宽），开环传函变为 $\dfrac{\omega_{cc}}{s}$ ，闭环带宽恰好约等于 $\omega_{cc}$ ——调一个参数 $\omega_{cc}$ 就完成整定，这是工程上最常用的电流环整定方法（工程实现还叠加反电动势前馈与一拍延时补偿）。

面试时把”我用 4 年调出来的经验”翻译成”零极点对消 + 带宽参数化”，说服力完全不同。

7. 仿真实现计划（作品 1）

模型：Simulink 内嵌式 IPMSM（ $L_d < L_q$ ，参数采用公开的电机数据或台架对标值，后续补参数表）；
环节：手写 Clarke/Park/反 Park + SVPWM + MTPA 表 + 三环 PI（含解耦与反电动势前馈），与 Simulink 自带模块交叉验证；
验证波形：速度阶跃（看超调/调节时间）、突加负载（看转速跌落与恢复）、 $i_d = 0$ vs MTPA 转矩对比（体现磁阻转矩收益）；
产出：模型文件 + 波形图 + 本文作为配套技术笔记，全部进 GitHub。

8. 踩坑清单（台架 + 仿真都会遇到）

离散化：连续域整定参数搬到离散域要重新验证；采样步长直接限制可达带宽；
一拍延时：从采样到 PWM 更新至少一拍，电流环相位裕度损失 $\omega_{cc} T_s$ ，高速大带宽时不可忽略；
积分饱和：电压饱和后 PI 积分器 windup，必须 anti-windup（条件积分/反算）；
MTPA 表边界：查表插值在低转矩区和高饱和区误差大，需要边界处理；
弱磁区： $v_q$ 达上限后要切弱磁控制（ $i_d$ 负向增大），这是 IPMSM 高速区的必修课，先仿真后台架。